[Lecture 2] MIT Linear Algebra - Gilbert Strang

MIT의 gilbert strang 교수님의 선형대수 2강이다.

오늘 배울 것은 Elimination 이다.

먼저, elimination이란 어떤 걸까?

우리가 수학을 대하는 태도와 소프트웨어가 수학을 대하는 태도는 사뭇 다르다.

elimination은, 매트랩 등 여러 소프트웨어가 선형대수에서 matrix equation을 풀때 사용하는 방식이다. 말그대로 row를 "제거"하면서 식을 풀어나간다.

 

이 때 중요한 것은 pivot이다. row를 제거할 때 1행에서 2행을 무작정 빼는 것이 아니고, 1행의 1열을 pivot으로 지정한 후 해당 pivot을 유지한채 2행 1열을 0으로 만들기 위해 pivot 행에 적당한 계수를 찾아 곱해서 뺀다.

 

elimination을 모두 진행하면 위와 같이 대각선을 기준으로 위의 요소들이 차있는 matrix 모양이 완성된다.

이를 Upper triangular matrix라 하여, U라고 지칭한다.

A가 U가 될 동안, Ax = b에서의 b는 c가 된다. 

즉 Ux = c를 풀면 된다. 대부분 Ux = c에서는 z부터 시작해서 x를 구하게 된다. 이 과정을 back substitution이라 한다.

 

 

 

A(3,3)이 -4라고 했을때, elimination을 진행하면 A의 3행이 [0 0 0]이 된다. 이럴 경우 pivot위치인 (3,3)이 0이 되고 row switch를 할 row도 없는데, 이 때가 elimination failure 경우이다.

 

 

row 단위로 진행하는 elimination을 matrix로써 나타내려면 위와 같이 elimination을 실행하지 않는 row에 대해서는 identity matrix의 row와 같게 하고, elimination을 실행하는 row에 대해서 적절한 위치에 적절한 계수를 넣으면 된다.

 

 

 

permutation은 위에서 진행했던 elimination matrix E처럼 어떤 matrix에 의해 진행되는데, P가 그 역할을 해준다.

그리고 row switch가 아닌 column switch를 하고 싶을때는 P를 A의 오른쪽에 두면 된다.

 

 

그럼 우리가 elimination을 진행해서 U를 만들어 냈을때, U에서 A로 다시 가고싶을 때는 어떻게 하면 될까?

inverse를 진행하면 된다.

 

 

inverse에 대해서는 3강에서 계속!!